Ligninger forklaret trin for trin med opgaver og facit
En ligning er en påstand om, at to udtryk er lige store. Når du løser en ligning med en ubekendt, finder du de værdier, der gør påstanden sand. I x + 4 = 11 er løsningen x = 7, fordi 7 + 4 er 11.
Du kan tænke på lighedstegnet som en balance. De to sider skal give det samme. Du må derfor lægge det samme til på begge sider eller trække det samme fra. Du må også gange eller dividere begge sider med det samme tal, når tallet ikke er nul.
Hvad betyder bogstavet x
Bogstavet står for en værdi, du endnu ikke kender. Det kunne lige så godt hedde a eller n. Udtrykket 3x betyder 3 × x, mens x/4 betyder x divideret med 4.
En løsning er mere end et forslag. Du kan kontrollere den ved at sætte værdien ind på bogstavets plads i den oprindelige ligning. Hvis begge sider bliver lige store, virker løsningen.
Løs en ligning i tre trin
Vi tager eksemplet 4x + 7 = 31.
Trin 1: Træk 7 fra på begge sider. Så får du 4x = 24.
Trin 2: Divider begge sider med 4. Så får du x = 6.
Trin 3: Kontroller ved at sætte 6 ind i den oprindelige ligning. Venstre side bliver 4 × 6 + 7 = 31. Højre side er 31. De er lige store, så løsningen er korrekt.
Skriv én ændring pr. linje, mens du lærer metoden. Så kan du se, hvad du har gjort, og finde det sted, hvor en eventuel fejl opstod.
Når der står x på begge sider
Se på ligningen 5x + 2 = 2x + 17. Begynd med at trække 2x fra på begge sider. Nu står der 3x + 2 = 17.
Træk derefter 2 fra på begge sider: 3x = 15. Divider til sidst begge sider med 3: x = 5.
Kontrollen bliver 5 × 5 + 2 = 27 på venstre side og 2 × 5 + 17 = 27 på højre side. Bemærk, at du ikke bare har flyttet et bogstav hen over lighedstegnet. Du har udført den samme regneoperation på begge sider.
Når ligningen indeholder en parentes
I 3(x + 2) = 24 kan du begynde med at dividere begge sider med 3. Det giver x + 2 = 8 og derefter x = 6.
Du kan også gange ind i parentesen: 3x + 6 = 24. Træk 6 fra, og divider derefter med 3. Du får igen x = 6.
Ved minus foran en parentes skal du være ekstra opmærksom. Udtrykket −(x + 4) er −x − 4. Minustegnet påvirker begge led inde i parentesen. Skriv gerne et ekstra mellemtrin, hvis fortegnene bliver uklare.
Lav en ligning ud fra en tekst
Tre ens hæfter og en blyant koster tilsammen 47 kr. Blyanten koster 5 kr. Hvad koster ét hæfte?
Lad x være prisen på et hæfte. Så kan situationen skrives som 3x + 5 = 47. Træk 5 fra på begge sider, så 3x = 42. Divider med 3, og få x = 14. Et hæfte koster 14 kr.
Slut med at vende tilbage til spørgsmålet. Her er svaret en pris i kroner. I andre opgaver kan x være et antal, en længde eller en temperatur. Enheden hjælper dig med at vurdere resultatet.
Kan en ligning have flere løsninger
Ja. Ligningen x² = 16 har både x = 4 og x = −4 som løsninger. Begge tal giver 16, når de ganges med sig selv.
Andre ligninger har ingen løsning. Ligningen x + 2 = x + 5 ville kræve, at 2 = 5. Og x + 2 = x + 2 er sand for alle reelle værdier af x. Metoden skal derfor altid passe til den type ligning, du arbejder med.
Prøv selv
1. x + 9 = 23.
2. 6x = 42.
3. 2x − 5 = 13.
4. 4x + 1 = x + 16.
5. 2(x + 3) = 18.
Facit: 1: x = 14. 2: x = 7. 3: x = 9. 4: x = 5. 5: x = 6. Kontroller hvert svar i den oprindelige ligning, før du går videre.
Få et hint til din fremgangsmåde
Se SkoleElev.ai for elever, hvor AI-coachen er beskrevet som hjælp gennem spørgsmål og hints. Arbejd også med brøker, hvis divisionerne i ligningerne volder problemer.